错位相减

2022-10-31 16:07:35 来源：盘龙历史网

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错位相减

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
例如，求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
∴xSn=x+3x²+5x³+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x²+x³+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：
S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）
在（1）的左右两边同时乘上a。得到等式（2）如下：
aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）
用（1）—（2），得到等式（3）如下：
（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）
（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。
例子:求和Sn=3x+5x²+7x³+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）
解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n²;
当x不等于1时，Sn=3x+5x²+7x³;+……..+(2n-1)·x的n-1次方
所以xSn=x+3x²+5x³+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方
所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x²;＋x³;＋。。。。。+x的n-2次方)－（2n-1）·x的n次方。
化简得：Sn=(2n-1)·x的n+1次方－（2n+1）·x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方
Cn=(2n+1)*2^n
Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
两式相减得
-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)
=(1-2n)*2^(n+1)-2
所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n

什么是错位相减，什么用错位相减

就是用于等比数列与等差数列相乘的形式

错位相减法

你好，错位相减法是一种常用的数列求和方法。下面是一个例子。
（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：　
　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）　
　在（1）的左右两边同时乘上a。得到等式（2）如下：　
　aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）　
　用（1）—（2），得到等式（3）如下：　
　（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）
（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 　
　S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。　
　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 　
　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。

Cn=an*bn=nbn
1)sn=1*2+2*2^2+.....n*2^n
2) 2Sn=2*(1*2+2*2^2+.....n*2^n) (乘的2加在2的次幂上，然后每项就后移一项了）
=1*2^2+2*2^3+.....n*2^(n+1) （Sn的第二项跟2sn的第二项相减……就这样斜着减就行了）
Sn-2Sn=1*2+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)
-Sn= 2(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)
Sn=(n-2)*2^(n+1)+2

错位相减求Sn

sn=1*3^0+2*3^1+3*3^2+..............+n*3^(n-1)
3sn=1*3^1+2*3^2+3*3^3+..............+n*3^n
sn-3sn=3^0+3^1+3^2+3^3+.............+3^(n-1)-n*3^n
-2sn=1*(1-3^n)/(1-3)-n*3^n
-2sn=(3^n-1)/2-n*3^n
sn=n*3^n/2-(3^n-1)/4

数列错位相减

(1)
a(n+1)=S(n+1)-Sn=2Sn+3
S(n+1)=3Sn+3
S(n+1)+ 3/2=3Sn+ 9/2=3(Sn +3/2)
[S(n+1)+3/2]/(Sn+3/2)=3，为定值
S1+3/2=a1+3/2=3+3/2=9/2
数列{Sn+3/2}是以9/2为首项，3为公比的等比数列
Sn+3/2=(9/2)·3ⁿ⁻¹
Sn=(3ⁿ⁺¹ -3)/2
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(3ⁿ⁺¹ -3)/2- (3ⁿ -3)/2=3ⁿ
n=1时，a1=3，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=3ⁿ
(2)
bn=(2n-1)an=(2n-1)·3ⁿ
Tn=b1+b2+b3+...+bn=1·3+3·3²+5·3³+...+(2n-1)·3ⁿ
3Tn=1·3²+3·3³+...+(2n-3)·3ⁿ+(2n-1)·3ⁿ⁺¹
Tn-3Tn=-2Tn=3+2·3²+2·3³+...+2·3ⁿ-(2n-1)·3ⁿ⁺¹
=2·(3+3²+...+3ⁿ)-(2n-1)·3ⁿ⁺¹ -3
=2·3·(3ⁿ-1)/(3-1) -(2n-1)·3ⁿ⁺¹ -3
=2(1-n)·3ⁿ⁺¹ -6
Tn=(n-1)·3ⁿ⁺¹ +3